.

עיקרון הפנטגרמה

אם יש לנו מעגל, ושמים בו נקודה אחת, את הנקודה השנייה צריך לשים במקום כך שייצא שהיחס בין בחלוקה יהיה a/b=b/a+b (היחס של חתך הזהב). אחר כך שמים את הנקודה הבאה במרחק של 137 מעלות בכיוון השעון, וכן הלאה. אם נמשיך ככה עד חמש נקודות נקבל פנטגרמה/כוכב. אם נמשיך בדרך זו הרבה נקבל ראשים של צמחים כגון חמניה.

חתך הזהב, המופיע בתחומים רבים - למשל גיאומטריה לבניית מעושר ומחומש משוכללים, או כוכב מחומש קודקודים שצלעותיו הן אלכסוני המחומש (הפנטאגראמה) - בא לידי ביטוי גם בעולם הצומח. בפרחים ממשפחת המורכבים, באיצטרובלי אורן ועוד.

בפרחים הדופסיגיים המספר המצוי ביותר של עלי הכותרת ושל עלי הגביע הוא חמישה, ולעיתים קרובות גם חמישה אבקנים. דוגמאות לסימטריה פנטרדיאלית זאת נוכל למצוא במשפחת הציפורניים, משפחת העופריתיים, משפחת הפרעיים, משפחת הורדניים ועוד.

במערכת קווצי- העור הסימטריה הפנטרדיאלית לא רק חיצונית, אלא גם מצויה גם במרבית האברים הפנימיים.

הסימטריה הפנטרדיאלית בולטת ביותר במחלקת כוכבי הים והפנטגרמה.

מספרי פיבונצ'י, חתך הזהב וצמחים

צמח אחד במיוחד מראה את מספרי פיבונצ'י בכמה נקודות צמיחה שיש לו. נניח שכאשר צמח מוציא החוצה ניצנים [חוטרים] חדשים, שהניצנים צריכים לגדול חודשיים לפני שהוא חזק דיו כדי לספק ענפים. אם הוא מסתעף בכל חודש לאחר מכן בנקודת הצמיחה, אנו מקבלים את התמונה שלפנינו. צמח הצומח באופן הדומה מאוד לזה הוא Achillea ptarmica

עלי כותרת בפרחים

בצמחים רבים מספר עלי הכותרת הוא מספר פיבונצ'י. לנורית יש 5 עלי כותרת. לליליות ואירוסים יש שלושה על כותרת. לכמה delphiniums יש שמונה עלי כותרת. לציפורני חתול דגניים יש 13 עלי כותרת. לכמה אסתרות יש 21 בעוד לחננית יכולים להיות 34 עלי כותרת, 55 או אפילו 89 עלי כותרת.

הקשרים כאן הם לכמה פרחים וצמחים קטלוגיים:

3 עלי כותרת: ליליה, איריס. בדרך כלל לליליות יש 6 עלי כותרת העשויים משתי קבוצות של 3 כפי שרואים בתמונה.

5 עלי כותרת: נורית, ורד בר, larkspur, שדומה ליונה. הנורית הצנועה הפכה לצורה בעלת עלי כותרת רבים יותר.

8 עלי כותרת: delpvhiniums

13 עלי כותרת: ragwort, דגן ציפורני חתול, cineraria, חנניות מסוימות.

21 עלי כותרת: אסתרות, black-eyed susan, עולש.

34 עלי כותרת: plantain, pyrethrum,

55, 89 עלי כותרת: חנניות, משפחת ה- asteraceae . סוגים מסוימים מאוד מדוייקים לגבי מספר עלי הכותרת שיש להם, למשל נוריות, אך לאחרים יש מספר עלי כותרת שמאוד קרוב למה שהראנו כאן למעלה, עם הממוצע שהינו מספר פיבונצ'י.

להלן פרח התשוקה (פסיפלורה אינקרנטה) מלפנים ומאחור.

מבט מלפנים: חמשת הקבוצות של 5 עלי כותרת ירוקים הם החיצוניים ביותר, עם כיסוי של אבקנים סגולים ולבנים (כמה?); במרכז יש 5 אבקנים ירוקים (בצורת T) ולמעלה במרכז יש שלושה שורשים בצבע חום עמוק וענפים מסוגננים.

מבט מאחור: שלושת העלים המגנים על הניצן הינם החיצוניים ביותר לעומת חמשת עלי הכותרת החיצוניים שאחריהם שכבה פנימית יותר של 5 עלי כותרת ירוקים נוספים.

ראשי זרעונים

את מספרי פיבונצ'י אפשר לראות גם בסידור של זרעונים על ראשי פרחים. בתמונה כאן של Coneflower חלק הפרח בתמונה הוא כשני ס"מ לרוחב. הוא חבר במשפחת החמנית ששמה המדעי הוא אכיציניאה ארגמנית, וקרוב משפחה לערבת אילינוי שם הוא חי.

אפשר לראות ש"עלי הכותרת" של תפוז נראים כיוצרים ספירלות עקומות גם לצד שמאל וגם לצד ימין. בקצה התמונה, אם סופרים את הספירלות הללו לצד ימין כשפונים החוצה, יש 55 ספירלות. מעט רחוק יותר כלפי המרכז אפשר לספור 34 ספירלות. כמה ספירלות הולכות בדרך האחרת במקום הזה? אפשר לראות שצמד המספרים (ספירת ספירלות בעיקום [עקומה] השמאלית והימנית) הם שכנים בסדרות של פיבונצ'י.

אותו דבר קורה להרבה ראשי זרעים ופרחים בטבע. נראה כאילו סידור זה נוצר כאריזה אופטימלית של הזרעים כך שלא משנה עד כמה רחב ראש הזרעים, הם מסודרים בכל שלב, כל הזרעים באותו גודל, כך שאין הם מצטופפים במרכז וגם אין הם מפוזרים בדלילות רבה מדי בקצוות.

הספירלות מסודרות בתבנית שהעיניים רואות, ספירלות "מעוקמות" המופיעות קרוב למרכז, ספירלות שטוחות

(ויותר מהם) המופיעות כשאנו מתקדמים (?)

אם כן מספר הספירלות שאנו רואים, בכל כיוון, שונה בראשי פרחים גדולים לעומת קטנים. בראש פרח גדול,

אנו רואים יותר ספירלות further out מאשר קרוב למרכז. מספרי הספירלות בכל כיוון כמעט תמיד שכנים

למספרי פיבונצ'י!

לא משנה עד כמה גדולים ראשי הזרעים, הזרעים תמיד מרווחים במידה שווה. בכל השלבים אפשר לראות את הספירלות של פיבונצ'י.

לחץ על הציור משמאל כדי לראות אנימציה על 120 זרעים המופיעים מנקודת צמיחה מרכזית אחת ע"פ סדרת פיבונאצ'י. כל זרע חדש הוא בדיוק (0.618) לסיבוב מהזרע האחרון (או במקביל, יש πפאי (1.618) זרעים לסיבוב). האנימציה מראה שלא משנה מה הגודל שאליו מגיע ראש הזרע, הזרעים תמיד נמצאים במרווח שווה זה מזה. בכל השלבים אפשר לראות את ספירלות פיבונאצ'י.

אותה תבנית נראית על ידי נקודות (זרעים) אלו העוקבים אם הנקודות מתפתחות לענפים או עלים או עלי כותרת. כל נקודה זזה רק בכיוון החוצה מן הגבעול המרכזי בקו ישר.

תהליך זה מראה מה קורה בטבע כשהקצה (השפיץ) הגדל יוצר זרעים בצורה ספירלית. איזור הפעולה היחיד הוא השפיץ הגדל - הזרעים רק גדלים יותר מיד כשהם מופיעים.

( אם יש N זרעים במסגרת אחת, הזרעים הכי חדשים מופיעים הכי קרוב לנקודה המרכזית, ב- 0.618 של סיבוב שלם מהזווית שבה הופיע הזרע האחרון. זרע שהינו ישן יותר עדיין שומר על הזווית המקורית שלו מהמרכז, אך ינוע החוצה למרחק שהינו שורשו הריבועי.)

תחתית הטופס

ראש הטופס

תחתית הטופס

סידור עלים

הרבה צמחים מדגימים שמספר פיבונאצ'י בארגון של העלים סביב גבעוליהם. כמו כן ניתן למצוא את מספר פיבונאצ'י בארגון העלים על גבעוליהם. אם אנחנו מסתכלים בצמחים העלים בד"כ מסודרים כך שהעלים מלמעלה לא מסתירים את העלים מלמטה. מסיבה זו אור השמש מתפזר באופן הטוב ביותר על פני העלים, ומי הגשם נקלטים ע"י העלים עוברים דרך הגבעול היישר לשורשים.

21

1

עלים לסיבוב

מספרי פיבונאצ'י מופיעים כשסופרים את מספר הפעמים מסביב לגבעול כשהולכים מעלה לעלה, וגם כשסופרים את העלים מלמעלה למטה (מהראשון אל האחרון). מספר הסיבובים בכל כיוון ומספר העלים שאנו פוגשים הם שלושה מספרי פיבונאצ'י עוקבים. דוגמאות:

אם נספור את מספר העלים דרך התקדמות בכיוון השעון מאחת עד 5 בכיוון השעון, נקבל 3 סיבובים. אם נקיף את העלים נגד כיוון השעון (בסדר הפוך) נקבל 2 סיבובים. כשאנו עושים את הסיבובים אנו פוגשים חמישה עלים (בלי להחשיב את הראשון או את האחרון). קיבלנו כאן שלושה מספרים: 2,3,5. אלו הם כמובן שלושה מספרים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י (1,1,2,3,5,8...).\

לצמחים שבצד יש סיבובים בכיוון השעון שעוברים דרך שמונה עלים. אם נלך את אותו מספר עלים

נגד כיוון השעון, נעשה רק 3 סיבובים. המספרים שקיבלנו הם:3,5,8 שהם שלושה איברים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י (1,1,2,3,5,8).

לגבי הצמח העליון יש 3/5 סיבוב לעלה עם כיוון השעון או 2/5 סיבוב לעלה נגד כיוון השעון.

לגבי הצמח התחתון יש 5/8 סיבוב לעלה עם כיוון השעון או 3/8 סיבוב לעלה נגד כיוון השעון.

321

421

סידור העלים של כמה צמחים נפוצים

הפרחים שהוראו קודם הם "פרחים" של המחשב, אבל אפשר לראות את אותו הדבר בצמחים אמיתיים. לפי הערכתנו 90% מכלל עלי הצמחים מוצגים בדרך זו של סדרת פיבונאצ'י.

כמה סידורים של עלים של צמחים נפוצים:

1/2: אלם, לינדן, ליימ, גראסס.

1/3: ביצ', האזל, גראסס, אוכמנייה שחורה.

2/5: אואק, שרי, תפוח, הולי, שזיף, common groundsel

3/8: פופלאר, וורד, פיר, ווילווו.

5/13: פוסי ווילווו, אלמונד.

כל עלה נמצא במקום של t/n של הסיבוב האחרון מהעלה הקודם. או שיש T סיבובים עבור N עלים.

בקוצי קקטוס ניתן למצוא את אותן ספירלות. ניתן לראות שם את הספירלות שמופיעות במחטי האורן ובסידור עלי כותרת. אבל הם יותר נראים לעין.

אצטרובלים

אצטרובלים מראים את ספירלות פיבונאצ'י בבירור. לעיתים נדירות ימצא אצטרובל שאין בו את סדרת פיבונצ'י.

הנה תמונה של איצטרובל רגיל הנראה מכיוון בסיסו שמחבר אותו לענף.

1. האם אתה יכול לראות את שתי הספירלות?

2. כמה קשקשים ("עלי" האצטרובל הנושאים את הצנוברים) יש בכל סט?

3. השתמש בקישורים בשביל לבדוק את תשובותיך.

הנה אצטרובל אחר.הוא לא רק קטן יותר, אלא יש לו ספירלה שונה בקשקשיו.

משימות:

1. התבוננו באצטרובלים, וספרו את הספירלות שיש בהם לפי כיוונים. כמה ספירלות יש לכל כיוון?
2. כמה קשקשים יש בכל כיוון?
3. לחץ על הקישורים בשביל לבדוק את תשובותיך.
4. האם אתם יכולים לראות את אותן ספירלות גם באננס? כמה ספירלות יש בכל כיוון? כרובית

הנה תמונה של כרובית רגילה. אם תסתכל בזהירות תוכל לראות נקודת מרכז איפה שעלי הכרובית הכי קטנים. תסתכל שוב ותראה את עלי הכרובית המאורגנים בספירלות מסביב לאותו מרכז באותו כיוון.

כמה ספירלות כאלה יש באותו כיוון?

תלחץ על הקישורים הבאים בכדי לבדוק אם השערתך נכונה.

הקווים שנראים בתמונות מתוחים בין פרחי הכרובית.

ראש הטופס

משימות:

1. התבונן בכרובית:

א. ראשית התבונן בדברים הבאים:

· ספור את מספר פרחי הכרובית בספירלות בכרובית שלפניך. המספר בכיוון אחד והמספר בכיוון השני יהיו מספרי פיבונאצ'י. האם אתה מקבל את אותם המספרים שיש בתמונה שבקישור?

· התבונן מקרוב בפרח כרובית אחד (שבור אחד קרוב לבסיס הכרובית). זוהי בעצם כרובית קטנה עם פרחי כרובית משלה - כולם מסודרים בספירלות סביב המרכז.

ספור את הספירלות בשני הכיוונים. כמה יש שם?

ב. כשתחתוך את פרחי הכרובית, נסה את הדבר הבא:

· התחל בתחתית והסר את הפרחים הרחבים [הגדולים] ביותר, חתוך אותו באופן שווה ל"גבעול" הראשי.

· מצא את הבא בראש הגבעול. הוא יהיה בערך 0.618 לסיבוב (בכיוון אחד). חתוך אותו באותה דרך.

· חזור על כך רחוק עד כמה שתחפוץ בכך וכעת:

· התבונן בגבעול. היכן שפרחי הכרובית הם יותר כמו איצטרובל או אננס. פרחי הכרובית היו מסודרים בספירלות מעל [לאורך] הגבעול. ספירה חוזרת שלהם מראה את מספרי פיבונאצ'י.

2. נסה את אותו הדבר בברוקלי.
3. עלים סיניים וחסה [עלים וחסה סיניים] דומים אך אין גבעול תואם לעלים. במקום זאת, הסירו בזהירות את העלים, תחילה מהמרוחק ביותר, ושימו לב לכך שהם חופפים ובדרך כלל יש רק אחד שהינו המרוחק ביותר [הקיצוני] בכל פעם. אתם צריכים להיות מסוגלים לגלות כמה הקשרים של מספר פיבונאצ'י.
4. חפש מספר פיבונאצ'י בפירות.

ב. מה לגבי בננה? ספור מכמה פני שטח "שטוחים" היא עשויה. האם זה 3 או אולי 5? כאשר תקלף אותה, חתוך אותה לחצי (כאילו נשברה לחצי, לרוחב) והבט שוב. הפתעה! יש שם מספר פיבונאצ'י.

ג. מה לגבי תפוח? במקום לחתוך אותו מהגבעול [קנה] לקצה השני (היכן שהיה הפרח), כלומר "מהקוטב הצפוני" ל"קוטב הדרומי", נסה לחתוך אותו לאורך ה"קו המשווה". הפתעה הנה מספר פיבונאצ'י שלך! באיזה מקום אחר אתה יכול למצוא את מספרי פיבונאצ'י בפירות ובירקות?

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#petals

מלבנים וספירלות

נשרטט שני רבועים צמודים עם אורך צלע השווה ל-1 . על ידם נשרטט ריבוע שאורך צלעו הוא 2,

כך שצלע אחת מתלכדת עם שתי צלעות של הריבועים הראשונים (ראה שרטוט).

אחר כך נשרטט ריבוע עם אורך צלע של 3 הבנוי על הצלע של 2 וצלע של 1 מן הריבועים הקודמים.

וחוזר חלילה, כאשר מסתובבים תמיד באותו כיוון.

אנו מקבלים מלבנים שרוחב ואורך שלהם הם שני מספרים עוקבים בסדרת פיבונצ'י.

המלבנים האלה נקראים מלבני פיבונצ'י.

כעת נחזור לשרטוט הנ"ל ובכל אחד מן הריבועים נשרטט רבע מעגל המשיק לשתי צלעות סמוכות

וכך שנוצר קו רציף, כפי שמראים בשרטוט הבא. הספירלה שקבלנו נקראת ספירלת פיבונצ'י.

אולי תוכלו עכשיו לשרטט ספירלת פיבונצ'י המסתובבת נגד כוון השעון.

אפשר למצוא בטבע הרבה ספירלות דומות לספירלות פיבונצ'י: לדוגמה, הקונכיה של חילזון

בנויה כספירלה, הגרעינים בפרח החמנייה מאורגנים כמספר ספירלות. להלן צלום רנטגן

של הקונכיה של חילזון ים הנקרא Nautilus ותמונה של פרח (מוכר לחובבי מזון טבעי)

הנקרא Echinacea purpura (גודל הפרח כ2- ס"מ, גודל הקונכיה הרבה פחות. מה קטנו מעשיך ה'!).

הגרעינים מאורגנים לפי ספירלות כפולות, ספירלות המסתובבות לפי כוון השעון וספירלות המסתובבות נגד כוון השעון. מספר הגרעינים בכל ספירלה הוא אחד מאיברי סדרת פיבונצ'י,

תלוי בגודל הפרח עצמו.

סדרת פיבונצ'י מופיעה בעוד הרבה הזדמנויות בצמחים שונים (המרחקים בין עלים

לאורך הגבעול של צמחים מסוימים הם פרופורציונליים לאיברי סדרת פיבונצ'י

(על מנת לקבל חשיפה מירבית לאור השמש. לא נתאר את הצמחים האלה כאן,

אבל תיתן לכם משימה פשוטה: בהזדמנות הראשונה תתבוננו בכרובית: היא מורכבת

מפרחים מרובים מאוד. הפרחים האלה מסודרים לפי ספירלות כפולות. תספרו את

הפרחים לאורך כל ספירלה. אחר כך תתלשו פרח אחד ותגלו בתוכו עןד ספירלות.

http://www.orot.macam.ac.il/maagar/dana-picard/fibonacci-4.htm

http://www.math.ohio-state.edu/~goldstin/pinecones.html